Quansah ký hợp đồng chuyên nghiệp đầu tiên với Liverpool vào ngày 4 tháng 2 năm 2021.[4][6][7] Trong mùa giải 2020–21, anh là đội trưởng của đội U18 Liverpool tham dự trận chung kết FA Youth Cup, cùng với các cầu thủ như Billy Koumetio, Melkamu Frauendorf, Max Woltman, Conor Bradley và Luke Chambers.[3][5][8]

Mùa giải tiếp theo, anh là đội trưởng của đội U19 Liverpool tham dự UEFA Youth League,[9] đồng thời chơi cho đội dự bị ở Premier League 2 và đóng vai trò quan trọng trong chiến thắng của đội tại Lancashire Senior Cup.[10][11]

Quansah sau đó đã có lần đầu tiên xuất hiện trong danh sách đội hình chính của Liverpool ở Premier League và EFL Cup,[8][12] tuy nhiên không được vào sân trong cả hai trận chung kết cúp quốc nội khi Liverpool giành chiến thắng.[13][14][15]

Vào ngày 20 tháng 1 năm 2023, Quansah gia nhập câu lạc bộ Bristol Rovers của League One theo dạng cho mượn đến hết mùa giải.[16][17] Anh ra mắt đội một vào ngày 28 tháng 1, chơi trọn vẹn trận thua 5-1 trước Morecambe, gây ấn tượng mặc dù kết quả không tốt.[18][19] Sau màn trình diễn ấn tượng trong trận hòa 0-0 với Ipswich Town, huấn luyện viên Joey Barton của Rovers dự đoán Quansah sẽ tiến đến cấp cao nhất của trò chơi, đồng thời ca ngợi khả năng chơi bóng của anh là một tài sản quan trọng.[20] Vào ngày 18 tháng 3, anh đã nhận thẻ đỏ đầu tiên trong sự nghiệp vì hành vi bạo lực trong những phút cuối trận thua 2-0 trên sân nhà trước Portsmouth.[21]

Vào ngày 27 tháng 8 năm 2023, Quansah đã có trận ra mắt chuyên nghiệp cho Liverpool, vào sân thay người cho Joël Matip trong chiến thắng 2-1 trước Newcastle United.[22] Vào ngày 16 tháng 9 năm 2023, anh có trận đá chính đầu tiên cho câu lạc bộ trong chiến thắng 1-3 trước Wolverhampton Wanderers, sau đó anh có đường kiến tạo đầu tiên cho Diogo Jota trong trận đấu tại Carabao Cup gặp Leicester City vào ngày 27 tháng 9 năm 2023.